أبرز القوانين الأساسية في الرياضيات

القوانين الأساسية لحساب المحيط والمساحة والحجم

فيما يلي أبرز القوانين المستخدمة في حساب المحيط والمساحة والحجم:

قوانين المحيط

يمكن حساب محيط الأشكال الهندسية ثنائية الأبعاد عن طريق القوانين التالية:

محيط المربع = 4 × طول ضلع المربع.
محيط المستطيل = 2 × (طول المستطيل + عرض المستطيل).
محيط المثلث = مجموع أطوال أضلاعه.
محيط الدائرة = 2 × π × نصف قطر الدائرة.

قوانين المساحة

يمكن حساب مساحة الأشكال الهندسية ثنائية الأبعاد باستخدام القوانين التالية:

مساحة المربع = (طول الضلع)²
مساحة المستطيل = الطول × العرض
مساحة المثلث = 1/2 × طول القاعدة × الارتفاع.
مساحة الدائرة = π × (نصف قطر الدائرة)²
مساحة شبه المنحرف = ((طول القاعدة العلوية + طول القاعدة السفلية) × الارتفاع) / 2.

بالإضافة إلى ذلك، يمكن حساب مساحة مجموعة من الأشكال الهندسية ثلاثية الأبعاد باستخدام القوانين الآتية:

مساحة سطح المكعب = 6 × (طول ضلع المكعب)².
مساحة سطح الأسطوانة = 2 × π × نصف قطر قاعدة الأسطوانة × ارتفاع الأسطوانة.
مساحة سطح المخروط = π × نصف قطر قاعدة المخروط × الارتفاع الجانبي.
مساحة سطح الكرة = 4 × π × (نصف قطر الكرة)².

قوانين الحجم

يمكن حساب حجم الأشكال الهندسية ثلاثية الأبعاد كالتالي:

حجم الأسطوانة = مساحة القاعدة × الارتفاع
حجم المخروط = (مساحة القاعدة × الارتفاع) / 3.
حجم الكرة = (4 × π × (نصف قطر الكرة)³) / 3.
حجم المكعب = (طول ضلع المكعب)³.
حجم متوازي المستطيلات = الطول × العرض × الارتفاع.

قوانين المثلثات الرئيسية

توجد مجموعة من القوانين المهمة في علم المثلثات، مثل:
- جيب الزاوية = جا (الزاوية) = الضلع المقابل للزاوية / الوتر.
- جيب تمام الزاوية = جتا (الزاوية) = الضلع المجاور للزاوية / الوتر.
- ظل الزاوية = ظا (الزاوية) = الضلع المقابل للزاوية / الضلع المجاور.

أهم المتطابقات المثلثية (حيث تمثل س قياس الزاوية):
- جا²(س) + جتا²(س) = 1.
- ظا(س) = جا(س) / جتا(س).
- 1 + ظا(س)² = 1 / جتا²(س).

قانون جيب التمام (الجتا): إذا كان هناك مثلث بأطوال أضلاعه أ، ب، جـ فإن طول الضلع أ يُعطى بالمقدار التالي:
- أ² = ب² + جـ² – 2 × ب × جـ × جتا أَ، حيث أَ هي الزاوية المقابلة للضلع أ.

قانون الجيب: لمثلث أطوال أضلاعه أ، ب، جـ فإن:
- جا(أَ) / (أ) = جا(بَ) / ب = جا(جـَ) / جـ، حيث:
  - أَ: الزاوية المقابلة للضلع أ.
  - بَ: الزاوية المقابلة للضلع ب.
  - جـَ: الزاوية المقابلة للضلع جـ.

قوانين ضعف الزاوية؛ حيث تمثل س قياس الزاوية:
- جا(2س) = 2 × جا(س) × جتا(س).
- جتا(2س) = جتا²(س) – جا²(س).
- ظا(2س) = (2 × ظا(س)) / (1 – ظا²(س)).

قوانين اللوغاريتمات الرئيسية

هنالك مجموعة من القوانين المتعلقة باللوغاريتم، منها:

إذا كان أس = م، فإنّ لوأ م = س.
لوأ 1 = 0.
لوأ أ = 1.
لوأ (م × ن) = لوأ م + لوأ ن.
لوأ (م / ن) = لوأ م – لوأ ن.
لوأ م ن = ن × لوأ م.
لوأ م = لوب م × لوأ ب.
لوب أ × لوأ ب = 1.

قوانين الجذور الأساسية

توجد مجموعة من القوانين المتعلقة بالجذور، ومن هذه القوانين:

(أ × ب)√ن = أ√ن × ب√ن، حيث إن دليل الجذر هو ن.
أ√ن × ب√م = (أ م × ب ن)√م×ن
(أ / ب)√ن = أ√ن / ب√ن، بشرط أن لا تساوي ب صفراً.
(أ√ن) ن = أ.
أم√ن = أ (م / ن).
(أ√ن) م = أم√ن.

قوانين الأسس الرئيسية

تعدّ مجموعة من القوانين المتعلقة بالأسس أساسية، وهي كالتالي:

في حالة الضرب:
- أ م × أ ن = أ (م + ن)
- أ م × ب م = (أ × ب) م
في حالة القسمة:
- أم ÷ أن = أ (م – ن)
- أ م ÷ ب م = (أ ÷ ب) م
الأس المرفوع لأس آخر:
- (أ م) ب = أ (م × ب)
الأس المرفوع لقوة تساوي صفر:
- أ 0 = 1
الأس السالب:
- أ -ن = (1 / أ) ن
الأس المرفوع لكسر:
- أ (ب / جـ) = أب√جـ

قوانين الجمع الأساسية

إليك أهم القوانين المرتبطة بعملية الجمع؛ حيث تمثل أ، ب، جـ أعداداً حقيقية:

العنصر المحايد لعملية الجمع: يساوي صفر، وبالتالي فإن إضافة أي عدد للعدد صفر يعيد نفس العدد؛ أي أ + 0 = أ.
النظير أو المعكوس الجمعي: هو العدد الذي عند إضافته إلى عدد آخر يعطي الناتج صفر؛ إذ أن المعكوس الجمعي للعدد أ هو -أ، لذا (أ) + (-أ) = 0.
الخاصية التجميعية: تعني أن (أ + ب) + جـ تساوي أ + (ب + جـ)؛ بمعنى أن تغيير ترتيب الأقواس لا يؤثر على نتيجة الجمع.
الخاصية التبديلية: تعني أن أ + ب = ب + أ؛ أي أن تغيير ترتيب الأعداد لا يُحدث فرقاً في ناتج الجمع.

ملاحظة: تعبر عملية الطرح (أ – ب) عن: أ + (-ب).

القوانين الأساسية للضرب

فيما يلي أهم القوانين المتعلقة بعملية الضرب؛ حيث تمثل أ، ب، جـ أعداداً حقيقية:

العنصر المحايد لعملية الضرب: يساوي 1، مما يعني أن ضرب أي عدد في 1 يُعطي نفس العدد؛ أي أ × 1 = أ.
النظير أو المعكوس الضربي: يتمثل بمقلوب العدد، إذ أن النظير الضربي للعدد أ يساوي 1/أ بشرط أن لا تساوي أ صفراً؛ حيث تعتبر النتيجة غير محددة في هذه الحالة، ومحصلة ضرب العدد بمعكوسه يُعطي دائماً قيمة 1؛ أي أن أ × (1/أ) = 1.
الضرب في العدد صفر: إن ضرب أي عدد في صفر يُعطي صفرًا؛ أي أ × 0 = 0.
الخاصية التجميعية: تعني أن (أ × ب) × جـ تساوي أ × (ب × جـ)؛ أي أن تغيير ترتيب الأقواس لا يؤثر على ناتج الضرب.
الخاصية التبديلية: تعني أن أ × ب = ب × أ؛ أي تغيير ترتيب الأعداد لا يؤثر على ناتج الضرب.
قانون التوزيع: ينص على أن أ × (ب + جـ) = أ × ب + أ × جـ.

ملاحظة: يمكن التعبير عن عملية القسمة من خلال عملية الضرب كما يلي: أ / ب = أ × (1 / ب).

القوانين الأساسية للكسور

إليك أهم القوانين المتعلقة بعمليات ضرب، وجمع، وطرح، وقسمة الكسور:

جمع الكسور: أ / ب + جـ / د = (أ × د + ب × جـ) / (ب × د).
طرح الكسور: أ / ب – جـ / د = (أ × د – ب × جـ) / (ب × د).
ضرب الكسور: أ / ب × جـ / د = (أ × جـ) / (ب × د).
قسمة الكسور: أ / ب ÷ جـ / د = (أ × د) / (ب × جـ).

قوانين حساب الفائدة الأساسية

تُحسب الفائدة وفقاً لنوعها باستخدام القوانين الآتية:

قانون الفائدة المركّبة: م = ب × (1 + ف / ت) ن × ت،

حيث:

ب: المبلغ أصلي.
م: المبلغ بعد إضافة الفائدة المركبة.
ف: نسبة الفائدة المركبة السنوية، ويجب كتابتها بعدد عشري.
ت: عدد مرات تحصيل الفائدة سنوياً.
ن: مدة القرض أو الاستثمار بالسنوات.

قانون الفائدة البسيطة: قيمة الفائدة البسيطة = المبلغ المقترض × نسبة الفائدة السنوية × عدد السنوات.

أهم القوانين في الإحصاء

تستخدم هذه القوانين لتحديد مدى ابتعاد القيم في عينة ما عن القيمة الصحيحة أو عن بعضها البعض، وفيما يلي أهم القوانين في علم الإحصاء:

الوسط الحسابي = مجموع القيم / عددها.
الانحراف المعياري = √((∑(القيمة – الوسط الحسابي)²) / (عدد القيم – 1)).
المدى = أعلى قيمة – أقل قيمة.
التباين = مربع الانحراف المعياري.

أهم القوانين في التكامل

إليك أهم القوانين المستخدمة بكثرة في علم التكامل:

∫ س ن ءس = (س(ن + 1) / (ن + 1)) + جـ؛ حيث جـ هو أي عدد ثابت، ويكتب دائماً إذا كان التكامل غير محدد، ءس تعني أن التكامل بدلالة س، وتقرأ (دال السين).
∫ (1 / س ن) ءس = -1 / ((ن – 1) × س (ن – 1)) + جـ.
∫ (1 / س) ءس = لوأ س + جـ.
∫ هـ س ءس = هـ س + جـ، حيث هـ هو العدد النيبيري.
∫ أس ءس = أس / لوأ + جـ.
∫ جاس ءس = -جتاس + جـ، حيث س تمثل أي زاوية.
∫ جتاس ءس = جاس + جـ، حيث س تمثل أي زاوية.

أهم القوانين في الاشتقاق

يمثل الاشتقاق العملية العكسية للتكامل، وفيما يلي أهم القوانين في علم الاشتقاق:

اشتقاق الاقتران الثابت (ص = جـ) = 0؛ أي أن: ءص / ءس (جـ) = 0.
اشتقاق الاقتران الخطي مثل ق (س) = س، قَ(س) = 1، أو بشكل عام، فإن اشتقاق الاقتران الخطي يساوي معامل س.
اشتقاق الاقتران التربيعي مثل: ق(س) = س²، قَ(س) = 2س.
اشتقاق الجذر التربيعي مثل: ق(س) = √س، قَ(س) = (1 / 2) × س^(-1/2).
اشتقاق الأس مثل:
- ق(س) = هـ س، قَ(س) = هـ س.
- ق(س) = أس، قَ(س) = Λ هـ أ × أس.
اشتقاق اللوغاريتم مثل:
- ق(س) = لوهـ (س)، قَ(س) = 1 / س.
- ق(س) = لوأ (س)، قَ(س) = 1 / (س × لوهـ (أ)).
اشتقاق الاقترانات المثلثية (جا، جتا، ظا)؛ حيث تمثل س أي زاوية:
- ق(س) = جا س، قَ(س) = جتا س.
- ق(س) = جتا س، قَ(س) = -جا س.
- ق(س) = ظا س، قَ(س) = قا² س.
اشتقاق الأس:
- ق(س) = س ن، قَ(س) = ن × س (ن – 1)؛ حيث ن تمثل الأس.

أهم القوانين المتعلقة بالمتباينات

فيما يلي أهم القوانين المرتبطة بالمتباينات:

إذا كان أ < ب، فإن ذلك يشير إلى أن أ < ب.
إذا كان أ > ب، فإن ذلك يعني أن أ أكبر من ب.
إذا كانت أ = ب، فإن أ تساوي ب.
إذا كان أ ≥ (ب × جـ)، فإن أ أكبر من أو يساوي ناتج ضرب ب وجـ.
إذا كان أ ≤ (ب / جـ)، فإن أ أقل من أو يساوي ناتج قسمة ب على جـ.

قانون حساب المسافة بين نقطتين

يمكن حساب المسافة بين نقطتين تمثل إحداثياتهما (س1، ص1) و(س2، ص2) باستخدام القانون التالي:

المسافة بين نقطتين = √[(س2 – س1)² + (ص2 – ص1)²]

قانون الميل للمستقيم

يُعبّر الميل عن مدى انحراف الخط المستقيم عن محور السينات الموجب، ويمكن تحديده من خلال مجموعة من القوانين، وهي:

الميل = ظاθ؛ حيث θ تمثل الزاوية بين الخط المستقيم والمحور.
لأي نقطتين إحداثياتهما (س1، ص1) و(س2، ص2) على الخط المستقيم، الميل = فرق الصادات / فرق السينات، أي الميل = (ص2 – ص1) / (س2 – س1).
إذا كانت المعادلة بصيغة ص = أس + ب، فإن الميل يُعادل معامل س؛ أي الميل = أ.

قانون نظرية فيثاغورس

يُطبق هذا القانون في المثلث القائم الزاوية، وينص على أن مربع الوتر يساوي مجموع مربعي ضلعي القائمة؛ أي:

الوتر² = الضلع الأول² + الضلع الثاني²

حيث يشكل أحد الضلعين القائمين قاعدة المثلث، في حين يمثل الضلع الآخر الضلع العمودي عليها.

قانون النسبة المئوية

يمكن حساب النسبة المئوية قانونياً كالتالي:

النسبة المئوية = (العدد المطلوب حساب النسبة المئوية له ÷ العدد الكلي) × 100%

وعن الرموز:

ن = (أ / ب) × 100%