أمثلة توضح كيفية حل المعادلات الخطية ذات مجهولين

تطبيقات عملية على حل المعادلات الخطية ذات مجهولين

فيما يلي بعض الأمثلة التطبيقية على كيفية حل المعادلات الخطية بمجهولين:

حل المعادلات الخطية بمجهولين باستخدام أسلوب التعويض

المثال الأول: احسب قيمتي المتغيرين (س، ص) في المعادلات التالية باستخدام طريقة التعويض:

• س + 8 ص = 5
• 2 ص + 4 س = 6

الحل:

1. تبسيط المعادلات لتكون بأبسط صورة كما يلي:
   1. تظل المعادلة الأولى كما هي، حيث إنها في أبسط صورة: س + 8 ص = 5
   2. تُبسط المعادلة الثانية بقسمة جميع الحدود على العدد 2، فتظهر بالشكل التالي: ص + 2 س = 3.

1. يتم كتابة المتغير س بدلالة المتغير ص من خلال إعادة ترتيب المعادلة الأولى (س + 8 ص = 5)، ويتضح الناتج كالتالي: س = 5 – 8 ص.
2. تعويض قيمة س في المعادلة الثانية لإيجاد قيمة المتغير ص كما يلي:
   1. ص + 2 س = 3
   2. ص + 2 (5 – 8 ص) = 3
   3. ص + 10 – 16 ص = 3
   4. -15 ص + 10 = 3
   5. -15 ص = -7
   6. ص= 15/7

1. يتم تعويض قيمة ص في المعادلة (س = 5 – 8 ص) لحساب قيمة س كما يلي:
   1. س= 5 – 8 ص
   2. س= 5 – 8 × 15/7
   3. س= 5 – 3.733
   4. س= 1.266

المثال الثاني: احسب قيمتي المتغيرين (س، ص) في المعادلات التالية باستخدام أسلوب التعويض:

• 6 س = ص – 3
• ص + س = 4

الحل:

1. كتابة المتغير س بدلالة المتغير ص من خلال إعادة ترتيب المعادلة الثانية (ص + س = 4)، ويتضح الناتج كالتالي: س = 4 – ص.
2. تعويض قيمة س في المعادلة الأولى لإيجاد قيمة المتغير ص كما يلي:
   1. 6 (4 – ص) = ص – 3
   2. 24 – 6 ص = ص – 3
   3. 27 = 7 ص
   4. ص = 27/7

1. تعويض قيمة ص في المعادلة (س = 4 – ص) لحساب قيمة س كما يلي:
   1. س = 4 – ص
   2. س = 4 – 27/7
   3. س = 1.4286

حل المعادلات الخطية بمجهولين باستخدام أسلوب الحذف

المثال الأول: احسب قيمتي المتغيرين (س، ص) في المعادلات التالية باستخدام طريقة الحذف:

• 3 س + 4 ص = 2
• ص – 9 س = 9

الحل:

1. نضرب جميع حدود المعادلة الأولى بالعدد 3 للحصول على متساوي القيمة لمعامل المتغير س في المعادلتين مع اختلاف الإشارة، فتتغير المعادلة إلى: 9 س + 12 ص = 6.
2. يجري جمع المعادلتين لحذف المتغير س والحصول على قيمة المتغير ص كما يلي:
   1. 9 س + 12 ص = 6
   2. ص – 9 س = 9
   3. 9 س – 9 س + 12 ص + ص = 6 + 9
   4. 13 ص = 15
   5. ص = 15/13

1. يتم تعويض قيمة ص في المعادلة الثانية لإيجاد قيمة المتغير (س) كما يلي:
   1. ص – 9 س = 9
   2. 15/13 – 9 س = 9
   3. س = -0.8728

المثال الثاني: احسب قيمتي المتغيرين (س، ص) في المعادلات التالية باستخدام طريقة الحذف:

• 2 س = 16 + 20 ص
• ص – س = 1

الحل:

1. تبسيط المعادلة الأولى بقسمة جميع الحدود على العدد 2، فتظهر المعادلة بالشكل: س = 8 + 10 ص.
2. إعادة ترتيب المعادلة الأولى بعد تبسيطها لتطابق ترتيب حدود المعادلة الثانية فتظهر كالتالي: س – 10 ص = 8.
3. يجري جمع المعادلتين لحذف المتغير س والحصول على قيمة المتغير ص كما يلي:
   1. س – 10 ص = 8
   2. ص – س = 1
   3. س – س – 10 ص + ص = 8 + 1
   4. -9 ص = 9
   5. ص = -1

1. يتم تعويض قيمة ص في المعادلة الثانية لإيجاد قيمة المتغير س على النحو التالي:
   1. ص – س = 1
   2. -1 – س = 1
   3. س = -2