أمثلة وتطبيقات عملية لفهم البوابات المنطقية

أمثلة على استنتاج ناتج الجمل المنطقية

فيما يلي أمثلة مفصلة حول كيفية استنتاج ناتج الجمل المنطقية:

أمثلة على الجمل المتعلقة بالبوابات الأساسية

تعد الخطوة الأولى في حل البوابات المنطقية فهمها والتعرف على مفهومها. تشمل البوابات المنطقية الأساسية ثلاثة اقترانات رئيسية، وهي: (AND، OR، NOT). تعمل بوابة (AND) على إخراج الناتج 1 فقط إذا كانت جميع مدخلاتها 1، بينما بوابة (OR) تخرج الناتج 0 فقط إذا كانت جميع المدخلات 0. أما بالنسبة لبوابة (NOT)، فهي تعكس قيمة المدخل، حيث تخرج 0 عند إدخال 1 والعكس صحيح. وفيما يلي بعض الأمثلة المحلولة على الجمل المنطقية الأساسية:

لنفترض أن القيم a=1، b=0، c=1، وd=0، لنحسب ناتج الجمل المنطقية التالية:

المثال 1: a AND b
- الحل: بما أن إحدى مدخلات بوابة AND تساوي 0، فإن الناتج سيكون 0 كذلك.

المثال 2: a AND c OR d
- الحل:
- نبدأ بتطبيق الأولويات في تنفيذ البوابات المنطقية، حيث نعطي الأولوية لبوابة AND كما يلي: a AND c = 1 AND 1 = 1
- ثم نقوم بإدخال النتيجة إلى البوابة التالية وهي OR: d OR 1 = 0 OR 1 = 1.

المثال 3: NOT b OR (c AND d)
- الحل: الأقواس لها الأولوية في أي عملية حسابية أو منطقية، لذا نبدأ بحساب الناتج داخل الأقواس كالتالي:
- بعد ذلك، يعطي الأولوية لبوابة NOT
  - NOT B
  - NOT 0
  - الناتج هو 1.
- تصبح الجملة النهائية بعد إجراء العمليات كما يلي:
  - 1 OR 0
  - الناتج هو 1.

أمثلة على الجمل المتعلقة بالبوابات المشتقة

تنقسم البوابات المشتقة إلى أربعة أنواع تختلف في وظائفها، وهي البوابات (NAND ،NOR ،XOR ،XNOR)، حيث تؤدي كل منها وظيفة معينة. بوابة (NAND) تعكس نتيجة بوابة (AND)، بينما بوابة (NOR) تعكس نتيجة بوابة (OR). بوابة (XOR) تخرج الناتج 0 إذا كانت المدخلات متشابهة، و1 إذا كانت المدخلات مختلفة، أما بوابة (XNOR) فلا تخرج 1 إلا إذا كانت المدخلات متشابهة. وفيما يلي أمثلة على الجمل المتعلقة بالبوابات المشتقة:

لنفترض أن القيم a=1، b=0، c=1، وd=0، لنحسب ناتج الجمل التالية:

المثال 1: a NAND b
- الحل: باستخدام جدول الحقيقة أو من خلال تحليل البوابة المنطقية إلى NOT AND، الناتج سيكون:
  - a NOT AND b
  - 1 NOT AND 0
  - الناتج هو NOT 0 = 1.

المثال 2: d XOR a NOR c
- الحل: نبدأ بحساب الناتج من اليسار إلى اليمين:
- لذا تصبح الجملة كالتالي:
  - 1 NOR C
  - 1 NOR 1
  - الناتج هو 0.

المثال 3: a XNOR c NAND (b NOR c XOR d)
- الحل: نبدأ بتحليل الجملة داخل الأقواس من اليسار إلى اليمين كما يلي:
  - 0 NOR 1 XOR 0
  - الناتج هو 0 XOR 0 = 0
- ثم نحسب الناتج للجملة كاملة كما يلي:
  - a XNOR c NAND 0
  - 0 1 XNOR 1 NAND 0
  - الناتج هو 1.

أمثلة على الجمل التي تحتوي على البوابات الأساسية والمشتقة

يمكن أن تحتوي الجمل المنطقية على مزيج من البوابات الأساسية والمشتقة. فيما يلي أمثلة توضيحية:

لنفترض أن القيم a=1، b=0، c=1، وd=0، نبحث عن ناتج الجمل المنطقية التالية:

المثال 1: a OR b NOR c
- الحل: نبدأ بتحليل الجملة من اليسار إلى اليمين كما يلي:
  - a OR b
  - الناتج هو 1.
- نضيف الناتج لبقية الجملة لنصبح كالتالي:
  - 1 c NOR
  - الناتج هو 0.

المثال 2: a AND d XOR (c XNOR b)
- الحل: نبدأ بتحليل ما بين الأقواس:
  - c XNOR b
  - 1 XNOR 0
  - الناتج هو 0.
- إذًا الجملة تصبح كالتالي:
  - a AND d XOR 0
  - 1 AND 0 XOR 0
  - الناتج هو 0.

المثال 3: a NOR NOT (d NAND b OR a XOR b AND c XNOR a)
- الحل: نبدأ بالأقواس حيث نعطيها الأولوية:
  - d NAND b OR a XOR b AND c XNOR a
  - d NAND b
  - 0 NAND 0
  - الناتج هو 1
  - 1 OR a XOR b AND c XNOR a
  - 1 OR a
  - الناتج هو 1;
  - 1 AND c XNOR a:
  - الناتج هو 1 AND c;
  - الناتج هو 1 AND 1;
  - والناتج هو 1.
  - 1 XNOR a:
  - الناتج هو 1 XNOR 1;
  - وناتج هذا هو 1.
أمثلة حل البوابات المنطقية باستخدام الآلة الحاسبة

تقوم الآلة الحاسبة المتخصصة في حل البوابات المنطقية باختبار ناتج الجملة المنطقية وإظهار الناتج إما 0 أو 1. فيما يلي مقارنة بين النتائج المحسوبة يدويًا ونتائج الآلة الحاسبة للجمل المنطقية المذكورة سابقًا:

لنفترض القيم a=1، b=0، c=1، وd=0، لنحسب ناتج الجمل المنطقية التالية:
- المثال 1: a AND b
  - الناتج 0.
- المثال 2: a AND c OR d
  - نقوم بإدخال القيم في الآلة الحاسبة.
  - الناتج هو 1 كما أظهرته العملية اليدوية.
- المثال 3: NOT b OR(C AND D)
- المثال 4: a NAND b
  - الناتج هو 1 كما أظهرته العملية اليدوية.
- المثال 5: d XOR a NOR c
  - الناتج هو 0 كما أظهرته العملية اليدوية.
- المثال 6: a XNOR c NAND (b NOR c XOR d)
  - بتطبيق العمليات حسب الأولويات، يظهر الناتج 1 كما أظهرته العملية اليدوية.
- المثال 7: a OR b NOR c
  - الناتج هو 0 كما أظهرته العملية اليدوية.
- المثال 8: a AND d XOR (c XNOR b)
  - الناتج هو 0 كما أظهرته العملية اليدوية.
- المثال 9: a NOR NOT (d NAND b OR a XOR b AND c XNOR a)
  - الناتج النهائي هو 0 كما أظهرته العملية اليدوية.
أمثلة على كتابة جدول الحقيقة

يستخدم جدول الحقيقة لتوضيح جميع الاحتمالات الممكنة لقيم المتغيرات الموصلة إلى البوابة المنطقية. فيما يلي بعض الأمثلة على جمل منطقية مع تمثيلها من خلال جدول الحقيقة:
- المثال 1: a AND NOT c
a AND NOT c c a

0 0 0

0 1 0

1 0 1

0 1 1
- المثال 2: a OR b AND (a NOR b)
a OR b AND (a NOR b) c b a

0 0 0 0

1 1 0 0

1 0 1 0

1 1 1 0

1 0 0 1

1 1 0 1

1 0 1 1

1 1 1 1
- المثال 3: (a NAND b AND (c OR NOT a)
(a NAND b AND (c OR NOT a) c b a

1 0 0 0

1 1 0 0

1 0 1 0

1 1 1 0

0 0 0 1

1 1 0 1

0 0 1 1

0 1 1 1

أمثلة تبسيط الجمل المنطقية

يمكن حل وتبسيط مسائل البوابات المنطقية المعقدة عبر خطوات منظمة. فيما يلي الطريقة لتبسيط الجملة المنطقية:
- المثال 1: a NOT OR b NOT AND c
  - الحل: a NOR b NAND c
- المثال 2: a NAND c NOT OR (b XOR d)
  - الحل: a NAND c NOR (b XOR d)
- المثال 3: d XNOR c AND NOT (a NOR b)
  - الحل: d XNOR c NAND (a NOR b)
أمثلة تحويل الجمل الكلامية إلى جمل منطقية

تستخدم البوابات المنطقية بشكل واسع في تنفيذ المهام بالدواائر الكهربائية. إليك بعض الأمثلة للتحول من جمل كلامية إلى جمل منطقية:
- المثال 1: ثلاث مصابيح تنطفئ جميعًا إذا انطفأ أحدها. اكتب العبارة المنطقية التي تصف حالة المصابيح؟
  - الحل: إذا انطفأت جميع المصابيح، فهذا يعني أنها متصلة على التوالي. لنفترض أن المصابيح تمثل a وb وc. لذا فإن العبارة المنطقية هي (a AND b AND c).
- المثال 2: مفتاح كهربائي a موصول على التوالي مع المفتاح b وموصول على التوازي مع المفتاح c. اكتب العبارة المنطقية؟
  - الحل: العبارة المنطقية هي (a AND b OR c).
- المثال 3: مكثف كهربائي a متصل بالمقاومة c على التوازي، والمقاومة c متصلة مع مصدر الطاقة b. اكتب العبارة المنطقية.
  - الحل: العبارة المنطقية هي (a OR c OR b).
تؤدي البوابات المنطقية مهامًا في الدوائر الكهربائية من خلال استلام مدخلات معينة وإجراء عمليات عليها، كي تقوم المخرجات بتنفيذ المهام المطلوبة. كل اقتران منطقي يتطلب مدخلين ومخرج واحد، ومن الضروري فهم الجمل المنطقية وكيفية عملها. لذا فكتابة جداول الحقيقة هي أداة مساعدة للمصممين لفهم النتائج المحتملة قبل البدء في شراء المكونات وتنفيذ التصاميم. لذا يعتبر فهم البوابات المنطقية أساسيًا، خاصةً مع الإنفجار الإلكتروني الذي يشهده زمننا الحالي.