أنواع الكسور
يُعرف الكسر في علم الرياضيات بأنه رقم مقسوم، يُعبر عنه بالصيغة (عدد\عدد)، حيث يُشار إلى العدد الموجود في الأعلى بـ “البسط” والعدد الموجود في الأسفل بـ “المقام”. تنقسم الكسور إلى عدة أنواع وأشكال، وسنقوم بشرح كل منها في هذا المقال، وهي على النحو التالي:
الكسر البسيط
يُعتبر الكسر البسيط هو الكسر الذي يكون فيه البسط أقل من المقام، مما يعني أنه يمثل جزءًا من الكل. هذا النوع من الكسور يُطلق عليه أيضًا “كسر عادي”، ويتم التعبير عنه كرقم يُعبر عن قيمة أقل من المقام. على سبيل المثال، يُعتبر السدس من الأمثلة على الكسور البسيطة. إليك بعض الأمثلة:
- 2\4
- 3\5
- 5\9
- 4\10
الكسر المركب
أما الكسر المركب، فيتم تعريفه ككسر يكون فيه البسط أكبر من المقام. يُعرف هذا النوع أيضًا بـ “كسر غير عادي”، حيث أن ناتج الكسر (عند قسمة البسط على المقام) يكون أكبر من 1. على الرغم من أن الكسور تحاول الإشارة إلى جزء من الكل، إلا أن هذا النوع ينحرف عن تلك الفكرة. يمكن كتابة هذا النوع بالطريقة التقليدية (بسط\مقام). إليك بعض الأمثلة:
- 7\4
- 5\2
- 9\3
- 10\2
العدد الكسري
يتكون العدد الكسري من مزيج يتضمن عددًا صحيحًا وكسرًا، ويُطلق عليه أيضًا “كسر مختلط”. يجمع هذا النوع بين نوعين من الأعداد: العدد الصحيح والكسر. وغالبًا ما تكون قيمة العدد الكسري أكبر من 1. يمكن تحويل العدد الكسري إلى كسر غير عادي، ويمكن أيضًا تحويل الكسر غير العادي إلى عدد كسري. إليك بعض الأمثلة على العدد الكسري:
- 1 2\3
- 7 6\9
- 3 5\6
- 2 4\7
مسائل توضيحية حول الكسور
فيما يلي بعض المسائل التوضيحية حول الكسور:
تقوم الأم بتقسيم رغيف الخبز إلى ثمانية أجزاء وتوزيع جزء واحد منها على أبنائها. كم ستكون حصة الابن الواحد؟
يمكن التعبير عن الجزء الواحد من الرغيف كالتالي: 1\8؛ وبالتالي حصة الابن الواحد ستكون 1\8.
يمتلك شخص مزرعة بمساحة 5 دونمات ويريد تقسيمها بين ابنين. ما ستكون حصة كل منهما؟
تكون الحصة لكل ابن بعد قسمة 5 على 2، ليصبح الكسر 5\2.
تريد معلمة تقسيم ثلاث قطع من الحلوى بين طالبين حصل كل منهما على نفس العلامة. كم ستكون حصة كل منهما؟
ستقوم المعلمة بتوزيع أول قطعتين عليهما، وبالتالي يحصل كل منهما على قطعة كاملة. أما القطعة الثالثة ستقسم إلى قسمين متساويين، ليصل إجمالي حصتهما إلى 1 1\2.
العمليات الحسابية على الكسور
تُجرى العديد من العمليات الحسابية على الكسور، مثل الجمع، الطرح، الضرب والقسمة، لفهم نتائج العمليات الرياضية المرتبطة بالكسور. سيتم توضيح كيفية إجراء كل من هذه العمليات على الكسور كما يأتي:
الجمع والطرح
تتم عملية جمع الكسور البسيطة والمركبة بعدة خطوات، حيث يتم آخر خطوة فيها جمع البسط مع البسط عند توحيد المقام. يتم جمع أو طرح الكسور العادية والمركبة عندما تكون المقامات متشابهة، من خلال جمع أو طرح البسطين مع الحفاظ على المقام كما هو. على سبيل المثال: 3\5 + 4\5 = 7\5.
أما إذا كانت المقامات مختلفة، فيجب توحيدها قبل القيام بعملية الجمع أو الطرح. يتم ذلك من خلال إيجاد المضاعف المشترك الأصغر للمقامين. مثلاً لجمع 2\3 + 1\2، نقوم بإيجاد المضاعف المشترك الأصغر بين 2 و3 وهو 6، ثم نضرب الكسر الأول في 2 والثاني في 3، ليصبح الكسرين: 4\6 + 3\6 = 7\6.
بالنسبة للأعداد الكسرية، يجب تحويل العدد الكسري إلى كسر غير عادي، ثم يتم النظر في المقامات بعد التحويل. إذا كانت المقامات متشابهة، يتم إجراء الطرح أو الجمع على البسط مع الحفاظ على المقام كما هو. وإذا كانت المقامات غير متشابهة، يتم ايجاد المضاعف المشترك الأصغر لهما وتوحيدهما، ثم حساب الناتج. مثلًا: 1 2\6 + 2 1\4، نحول الأعداد الكسرية إلى كسور غير عادية ثم نجمعها.
الضرب والقسمة
لضرب الكسور العادية والمركبة، يتم ضرب البسط بالبسط والمقام بالمقام. على سبيل المثال: 2\3 * 7\4 = 14\12. أما بالنسبة للأعداد الكسرية، يتم تحويل العدد الكسري إلى كسر غير عادي ويُجرى الضرب بنفس الطريقة المستخدمة للكسور العادية. مثل 1 2\3 * 2 3\4 تُحوّل إلى 5\3 * 11\5 = 55\15.
فيما يتعلق بالقسمة، يتم تحويل عملية القسمة إلى ضرب والكسر الثاني يُعكس، ثم يتم إجراء عملية الضرب. على سبيل المثال، عند قسمة الكسر (2\3) على (5\7)، نقوم بعكس الكسر الثاني (7\5) ونضربه في الكسر الأول: (2\3) * (7\5) = 14\15.
أما الأعداد الكسرية، فنجري عملية القسمة عليها بنفس الطريقة المستخدمة في الكسور العادية والمركبة. مثال: 1 3\4 مقسومًا على 2 1\4، يُحوّل إلى (7\4) / (9\4)، ثم تتم عملية القسمة.
تمارين على العمليات الحسابية للكسور
إليكم مجموعة من التمارين التطبيقية مع الحلول:
- ما ناتج جمع 3\4 + 5\2 ؟
نقوم بتوحيد المقامات عن طريق ضرب الكسر الثاني بالعدد 2، ليصبح 10\4، ثم نجمع: 3\4 + 10\4 = 13\4.
- ما نتائج طرح 8\3 – 5\3؟
بما أن المقامات موحدة، نقوم بطرح البسطين مباشرة: 8 – 5\3 = 3\3.
- اذكر ناتج ضرب العددين الكسرين 2 2\4 * 3 1\2؟
نقوم بتحويل العددين الكسرين إلى كسور مركبة ليصبحوا: 10\4 * 7\2 = 70\8.
- قم بتقسيم الكسر 6\4 على الكسر 8\3؟
نقوم بعكس الكسر الثاني ليصبح 3\8، ومن ثم نضربه في الكسر الأول، ليصبح الناتج: 6\4 * 3\8 = 18\32.
العمليات المنطقية على الكسور
تُجرى العمليات المنطقية على الكسور بهدف المقارنة بينها وتصنيفها كـ أكبر، أصغر، أو متساوية. ترمز هذه الحالات على التوالي كما يلي: (أكبر >)، (أصغر <)، و (يساوي =).
كسور بنفس المقام
عند مقارنة الكسور التي لها نفس المقام، فإن الكسر ذو البسط الأكبر يُعتبر هو الكسر الأكبر. على سبيل المثال: 3\4 > 2\4.
كسور بنفس البسط
في حالة المقارنة بين كسارين لهما نفس البسط، فإن الكسر ذو المقام الأكبر يُعتبر هو الأصغر. مثلًا: 4\8.
كسور تختلف في البسط والمقام
عند المقارنة بين الكسور المختلفة في البسط والمقام، مثل 5\3 و4\6، ينبغي اتباع الخطوات التالية:
- بدءًا، يجب توحيد المقامات.
- إيجاد المضاعف المشترك الأصغر بين الكسرين.
- في هذا المثال، نقوم بضرب الكسر الأول في 2 لتوحيد المقامات.
- بعد عملية التوحيد، تصبح الكسرين: 10\6 و4\6.
- نقارن الكسرين كما نعمل بين الكسور ذات المقامات المتشابهة، فينتج: 10\6 > 4\6.
تمارين على العمليات المنطقية للكسور
فيما يلي بعض المسائل التطبيقية على العمليات المنطقية للكسور وإيجاد الحلول لها:
- قارن بين الكسر 1 6\4 والكسر 5\7.
عند تحويل العدد الكسر 1 6\4 إلى 10\4، تتم المقارنة مع 5\7. هنا، نظرًا لاختلاف الكسور في البسط والمقام، يتم توحيد المقامات لتصبح: 70\28 و20\28، وعليه نستنتج: 70\28 > 20\28.
- قارن بين الكسرين 6\3 و4\2.
إذا كانت الكسور مختلفة في البسط والمقام، نقوم بتوحيد المقامات لتصبح: 12\6 و12\6، مما يعني أن العلاقة بينهما هي المساواة: 12\6 = 12\6.
- قارن بين الكسر 2\9 والكسر 5\9.
هنا، بما أن المقامات متشابهة، نصل إلى النتيجة أنها: 2\9 < 5\9.
- قارن بين الكسرين 3\7 و3\5.
في هذه الحالة، حيث إن البسطين متشابهان، نعتبر الكسر ذو المقام الأكبر هو الأصغر، وبالتالي تكون النتيجة: 3\7 < 3\5.
