أنواع المعادلات الخطية: تصنيفات وأمثلة

أنواع المعادلات الخطية

تتواجد ثلاثة أنواع رئيسية من المعادلات الخطية، وهي كما يلي:

المعادلة بالشكل القياسي

المعادلة بالشكل القياسي (بالإنجليزية: Standard Form) هي معادلة خطية يتم تمثيلها بالصورة التالية:

أ س + ب ص = ج، حيث تمثل أ، ب، ج عادة أعدادًا صحيحة.

لإيجاد الرسم البياني ونقاط التقاطع مع المحاور للمعادلة الخطية الممثلة بالصورة القياسية:

عند كتابة المعادلة الخطية بالشكل القياسي، يمكننا تحديد نقطتي التقاطع مع المحاور للحصول على الرسم البياني الخاص بالمعادلة.

والمثال التالي يوضح كيفية ذلك:

مثال 1: لنفترض أن المعادلة الخطية هي: 2س + 3ص = 12

1. إذا افترضنا أن س = 0، فنحصل على: 3ص = 12
2. ومنه؛ ص = 12/3
3. وبالتالي، المقطع الصادي هو (0, 4)
4. لنستخدم نفس الطريقة بافتراض ص = 0:
5. فنجد 2س = 12
6. إذًا، س = 12/2
7. وبالتالي، المقطع السيني هو (6, 0)
8. للحصول على الرسم البياني، نرسم خطًا مستقيمًا يربط بين النقطتين (6, 0) و (0, 4).

مثال 2: لنحسب المقطع السيني والصادي للمعادلة 5س – 2ص = 10.

بتطبيق نفس الطريقة السابقة:

1. نفترض أن ص = 0، فنسجل: 5س = 10
2. إذًا، س = 2
3. والآن نفترض أن س = 0، فنجصل على: 2ص = 10
4. وبالتالي، ص = 5
5. وبذلك نجد أن:
   1. المقطع السيني: (0, 2)
   2. المقطع الصادي: (0, 5)

تحويل المعادلة إلى الشكل القياسي:

في بعض الأحيان، يتطلب حل المعادلات الخطية تحويل المعادلة إلى شكلها القياسي، والمثال التالي يوضح ذلك:

مثال: كيف يمكن تحويل المعادلة ص = 3/8س + 5 إلى الشكل القياسي؟

1. اجعل جميع المتغيرات في جانب واحد: -3/8س + ص = 5
2. اضرب جميع الحدود في المعادلة ب 8: -3س + 8ص = 40
3. وبالتالي نحصل على الشكل القياسي حيث أن أ = -3 و ب = 8 و ج = 40.

معادلة الميل ونقطة

معادلة الميل ونقطة (بالإنجليزية: Point-Slope Form) هي معادلة بمتغيرين تأتي على الشكل التالي:

ص – ص1 = م (س – س1)

حيث م تمثل ميل الخط المستقيم، و (س1، ص1) تشير إلى نقطة تقع على الخط.

إيجاد معادلة خط مستقيم بناءً على عناصره:

لنفترض أننا نريد إيجاد معادلة خط مستقيم يمر عبر النقطة (1, 5) ويمتلك الميل -2.

1. من المعطيات، نستنتج: م = -2، س1 = 1، ص1 = 5.
2. وبالتالي، معادلة الخط المستقيم هي: ص – 5 = -2 (س – 1).

تحديد معادلة خط مستقيم يمر عبر نقطتين:

لإيجاد معادلة خط يمر عبر نقطتين، يجب علينا أولًا معرفة قانون الميل وهو كالتالي:

م = (ص – ص1) / (س – س1)

حيث م تمثل الميل، و (س، ص) هي النقطة الثانية، و (س1، ص1) هي النقطة الأولى.

مثال: احسب معادلة الخط المستقيم الذي يمر عبر النقطة (1, 4) والنقطة (6, 19).

1. باستخدام قانون الميل: م = (19 – 4)/(6 – 1)
   1. م = 15/5
   2. م = 3

1. بعد تحديد الميل، نستخدم إحدى النقطتين لإيجاد المعادلة، لنأخذ النقطة (1, 4).
2. إذًا، معادلة الخط المستقيم هي: ص – 4 = 3 (س – 1).

معادلة الميل والمقطع

معادلة الميل والمقطع (بالإنجليزية: Slope-Intercept Form) هي معادلة خطية بمتغيرين، تأتي بصيغتها التالية:

ص = م س + ب

حيث م هو الميل و ب هو المقطع الصادي.

إيجاد معادلة الميل والمقطع من عناصرها:

مثال 1: إذا أردنا إيجاد معادلة خط مستقيم ميله -1 ومقطعه الصادي هو (0, 5).

1. يجب أولًا تحديد قيمة كل عنصر لكتابة المعادلة:
   1. م = -1
   2. ب = 5

1. وبذلك، تكون المعادلة كالتالي: ص = -1س + 5.

مثال 2: إذا كان لدينا خط مستقيم يمر عبر نقطتين (0, -4) و(3, -1)، كيف نستطيع إيجاد معادلته؟

1. نرمز إلى أن النقطة (0, -4) تمثل المقطع الصادي.
   1. وبالتالي، ب = -4.

1. يجب الآن حساب ميل الخط المستقيم:
   1. م = (-1 – (-4))/(3 – 0)
   2. م = 3/3
   3. م = 1

1. إذًا، معادلة الخط المستقيم هي: ص = 1س – 4.

ما هي المعادلة الخطية؟

تعتبر المعادلة الخطية معادلة تكون فيها أعلى قوة للمتغير دائمًا 1، ولا يمكن أن يكون أحد المتغيرات فيها مرفوعًا لقوة أكبر. ولذلك تُسمى المعادلة الخطية أيضًا المعادلة من الدرجة الأولى، ويتخذ منحناها دائمًا شكل الخط المستقيم، مما يفسر تسميتها بالخطية.

يمكن أن تكون المعادلة الخطية معادلة بمتغير واحد أو عدة متغيرات بشرط أن تكون جميع المتغيرات مرفوعة للأس 1.