إثبات نظرية فيثاغورس في الرياضيات

إثبات نظرية فيثاغورس

تقدم نظرية فيثاغورس واحدة من الأسس المهمة في علم الهندسة، ويمكن إثباتها عبر عدة طرق مختلفة، وفيما يلي نستعرض أبرز هذه الطرق:

الطريقة الأولى: لنفترض وجود مثلث قائم الزاوية يُسمى ق ل ر، حيث يكون الزاوية القائمة في النقطة ل. يمكن إثبات النظرية كما يلي:
- لنُعرف طول الضلع (ق ر) بالرمز أ، وطول الضلع (ر ل) بالرمز ب، وطول الضلع (ق ل) بالرمز جـ.
- رسم مربع طوله يساوي (ب+جـ) على أحد الأضلاع.
- وضع النقاط يَ، ف، ج، ح على أضلاع هذا المربع، بحيث تكون و يَ = س ف = ز ج = ي ح = ب. يتم بعد ذلك توصيل النقاط بخطوط مستقيمة مما يشكل مربعاً أصغر (يَ ف ج ح) بطول ضلع أ، ويتوسط المربع الأول أربعة مثلثات أطوال أضلاعها تتراوح بين أ، ب، جـ.
- مساحتا المربعين تُعطى بالعلاقة: مساحة (و س ز ي) = مساحة (يَ ف ج ح) + 4×مساحة مثلث صغير.
- بناءً على ذلك، خلالها نصل إلى المعادلة (ب+جـ)² = أ²+ 2×ب×جـ، ومن ثم نصل إلى: ب²+جـ² = أ²، وهذه هي نظرية فيثاغورس.

الطريقة الثانية: إذا كنا ندير مثلثاً أ ب جـ، وكان قائم الزاوية في ب، يمكن إظهار نظرية فيثاغورس كما يلي:
- إذا كانت النقطة د تقسم الضلع أ جـ عمودياً، ورُبطت بالنقطة ب لتشكيل مثلثين.
- يُلاحظ أن المثلثين أ ب جـ، وأ د ب متشابهان، حيث يشتركان في الزاوية أ وكلاهما يحتويان على زاوية قائمة، مما يعني:
  - نسبة طول الضلعين: أد/ أب = أب/ أجـ.
  - وبالتالي أد× أجـ = (أب)² …….(معادلة 1).
- بنفس الطريقة، نجد أن المثلثين ب د جـ، وأ ب جـ متشابهان أيضاً، مما يعني:
  - نسبة الضلعين: د جـ/ ب جـ = ب جـ/ أ جـ.
  - وبالتالي: د جـ×أ جـ = (ب جـ)² …….(معادلة 2).
- بجمع المعادلتين نحصل على:
  - (أد × أجـ) + (د جـ × أجـ) = (أ ب)² + (ب جـ)²، ومنه نصل إلى:
  - أجـ × ( أد + د جـ) = (أ ب)² + (ب جـ)²، وبالتالي:
  - أجـ² = (أ ب)² + (ب جـ)²، وهذا يؤكد نظرية فيثاغورس.

الطريقة الثالثة: إثبات غارفيلد (Garfield)، وهو الرئيس العشرون للولايات المتحدة، حيث استخدم مساحة شبه منحرف لإثبات النظرية:
- تم رسم شبه منحرف (أب جـ د) بحيث كان قائم في جـ وب، وكانت قواعده بالترتيب (أب)= أ، و(ج د) = ب، وارتفاعه (ب ج) = (أ + ب). تم تقسيمه إلى ثلاثة مثلثات.
- حساب مساحة شبه المنحرف وفق الصيغة: مساحة = (1/2)×(أ+ب)×(أ + ب) = (1/2)×(أ² + 2×أ×ب + ب²).
- حساب مساحة المثلثات كالتالي:
  - مساحة المثلث الأول = (1/2)×أ×ب.
  - مساحة المثلث الثالث = (1/2)×جـ×جـ.
- مساحة شبه المنحرف تساوي مجموع المساحات الثلاث، أي:
  - (1/2) × (أ² +2×أ×ب +b²) = (1/2)×أ×ب + (1/2)×أ×ب + (1/2)×جـ²، وبالتالي نحصل على: أ²+ب² = جـ².

أمثلة متنوعة حول نظرية فيثاغورس

المثال الأول: لمثلث بأطوال أضلاعه 5، 12، 13، هل هو مثلث قائم؟
- الحل: باستخدام نظرية فيثاغورس للتحقق من كون المثلث قائماً:
  - هل 13² تساوي 12² + 5²، بافتراض أن الضلع 13 هو الوتر.
  - 169 = 144 + 25، وبحساب الطرفين نجد 169 = 169، مما يُثبت أن هذا مثلث قائم الزاوية.

المثال الثاني: في مثلث قائم الزاوية يبلغ طول الوتر 17 سم، وطول أحد الأضلاع 15 سم، وطول الضلع الآخر هو س، فما طوله؟
- الحل: باستخدام نظرية فيثاغورس:
  - 17² = 15² + س²، حيث 289 = 225 + س²، س² = 289 – 225 = 64.
  - لذا، س = √64 = 8 سم، أي أن طول الضلع الثاني 8سم.

المثال الثالث: في مثلث أ ب جـ، يبلغ طول الوتر (جـ) 10 سم، وطول أحد الضلوع (ب) 9 سم، فما طول الضلع الثالث (أ)؟
- الحل: باستخدام النظرية:
  - 10² = 9² + أ²، أي 100 = 81 + أ²، أ² = 100 – 81 = 19، وبالتالي، أ = √19 ≈ 4.35 سم.

المثال الرابع: طوله 41 قدم، ترتكز سلم الإطفاء على إحدى البنايات وابتعد عن قاعدتها بمقدار 9 أقدام، فما هو ارتفاع البناية؟
- الحل: السلم يشكل مثلثاً قائماً مع ارتفاع البناية والبعد الأفقي:
  - 41² = ارتفاع البناية² + 9²، أي 1681 = ارتفاع البناية² + 81.
  - ارتفاع البناية² = 1681 – 81 = 1600، وبالتالي ارتفاع البناية = √1600 = 40 قدم.

المثال الخامس: أحمد وصديقه خالد انطلقا على دراجة هوائية من نفس الموقع. عند تحرك أحمد شمالاً وخالد شرقاً بنفس السرعة، هل يمكن حساب المسافة بينهما بعد ساعتين؟
- الحل: اذ سُجلت المسافة بينهما 2√17 كم، لنحسب السرعة:
  - وفقاً نظرية فيثاغورس: (2√17)² = س² + س²، ومن ثم 68 = 2س²، وبالتالي س = √34 = 17 كم.
  - لذا، المسافة المقطوعة لكل منهما خلال ساعتين تعادل 17 كم، وبالتالي السرعة = المسافة/الزمن = 17/2 = 8.5 كم/ساعة.

نظرة عامة حول نظرية فيثاغورس

تعد نظرية فيثاغورس إحدى أقدم النظريات المعروفة في علم الهندسة، وقد سُميت نسبة للعالم والفيلسوف الإغريقي فيثاغورس، رغم أنه تم اكتشافها من قبل البابليين قبل ألف سنة من فترته. تنص النظرية على أنه في أي مثلث قائم الزاوية، مربع طول الوتر يساوي مجموع مربعي الضلعين الآخرين. الوتر هو الضلع المقابل للزاوية القائمة، وهو أطول ضلع في المثلث. تستخدم نظرية فيثاغورس لتحديد ما إذا كان المثلث قائماً، ولإيجاد طول أي ضلع إذا كان معروفاً طول الضلعين الآخرين، وأيضاً لحساب طول القطر في المربع أو المستطيل.

للمزيد من المعلومات حول نظرية فيثاغورس، يُمكنك قراءة المقال التالي: قانون نظرية فيثاغورس.