المبادئ الأساسية لقوانين اللوغاريتمات

القوانين الأساسية للوغاريتمات

تُستخدم قوانين اللوغاريتمات على الأعداد الحقيقية الموجبة، مع العلم أن أساس اللوغاريتم يجب أن يكون أكبر من صفر وألا يكون مساويًا للواحد. وفيما يلي أبرز القوانين المتعلقة باللوغاريتمات:

قانون لوغاريتم الرقم واحد

ينص قانون لوغاريتم الرقم واحد على أن لوغاريتم العدد واحد لأي أساس دائمًا يكون صفرًا. يعود ذلك إلى أن أي عدد يُرفع للأس صفر ينتج عنه واحد، بمعنى:

لوغ (1) = 0، حيث (أ > 1)

قانون لوغاريتم العدد للأس واحد

وفقًا لقانون لوغاريتم العدد الذي يُساوي أساسه، فإن لوغاريتم هذا العدد يُنتج قيمة واحدة. يكون ذلك بسبب أن عددًا مرفوعًا للأس واحد يبقى كما هو، أي:

لوغ (أ) = 1، حيث (أ > 1)

قانون لوغاريتم العدد المرفوع للقوة

هذا القانون ينص على أن لوغاريتم عدد مرفوع لقوة معينة يُعطي ناتج ضرب القوة في لوغاريتم العدد بالأساس المحدد، أي:

لوغ (ب^س) = س × لوغ (ب)

حيث (س وأ): أعداد صحيحة موجبة، و(أ) عدد صحيح موجب لا يساوي واحد.

وبذلك، فإن لوغاريتم الجذر لعدد ما بأساس معين يُحسب بواسطة ضرب قيمة الجذر في لوغاريتم العدد وفقًا للأساس، أي:

لوغ (ب√ن) = لوغ (ب) * (1/ن) = 1/ن × لوغ (ب)

أيضًا، يكون لوغاريتم عدد مرفوع لقوة ما، بحيث يساوي أساس اللوغاريتم قيمة ذلك العدد وفقًا للقانون التالي:

لوغ (أ^س) = س، ويمكن توضيح هذه القاعدة بتطبيق قاعدة الأس وقاعدة الأس الواحد، كالتالي:

لوغ (أ^س) = س × لوغ (أ) = س × 1 = س

قانون الأس اللوغاريتمي

يشير هذا القانون إلى أن ناتج العدد الأساسي المرفوع للأس لوغاريتم عدد آخر بأساس يعادل العدد الثاني هو العدد نفسه، بمعنى:

س^(لوغ (أ)) = أ

قانون ضرب اللوغاريتمات

ينص هذا القانون على أن لوغاريتم حاصل ضرب عددين بأساس معين يُعطي ناتج جمع لوغاريتم كل عدد على حدة بنفس الأساس، أي:

لوغ (ب×س) = لوغ (ب) + لوغ (س)

حيث (س وب): أعداد صحيحة موجبة و(أ) عدد صحيح موجب لا يساوي واحد.

قانون قسمة اللوغاريتمات

يشير هذا القانون إلى أن لوغاريتم نتيجة قسمة عددين حسب أساس معين يُعطي ناتج طرح لوغاريتم كل عدد على حدة، أي:

لوغ (ب÷س) = لوغ (ب) – لوغ (س)

حيث (س وب): أعداد صحيحة موجبة و(أ) عدد صحيح موجب لا يساوي واحد.

قانون تغيير الأساس

هذا القانون ينص على أن لوغاريتم عدد بأساس أول يُعطي ناتج قسمة لوغاريتم العدد بأساس ثاني على لوغاريتم الأساس الأول بتلك الأساس، أي:

لوغ (س) = لوغ (س) / لوغ (أ)

حيث (س وآء ون): أعداد صحيحة موجبة، و(أ ون) لا تساوي واحد.

قانون التبادل في اللوغاريتمات

ينص هذا القانون على أن لوغاريتم عدد بأساس أول يتساوى مع ناتج قسمة واحد على لوغاريتم الأساس الأول بالأساس الثاني بحيث يكون الأساس الثاني هو القيمة الأصلية، أي:

لوغ (س) = 1 / لوغ (أ)

حيث (س وأ): أعداد صحيحة موجبة لا تساوي واحد.